初等 topos
elementary topos
topos の複數形は topoi
普通に「topos」と言ったら「初等 topos」を意味する
topos の射
幾何學的射 (geometric morphism) $ \bf E ,$ \bf F を 初等 topos とし、隨伴 (函手)對$ f:=(f^*\dashv f_*):{\bf E}\xrightleftarrows[f^*]{f_*}{\bf F} で、左隨伴$ f^*が有限極限を保存するものを幾何學的射$ f:{\bf E}\to{\bf F}と呼ぶ 左隨伴$ f^*を逆像部分 (inverse image)、右隨伴$ f_*を直像部分 (direct image) と呼ぶ local geometric morphism
直像部分$ f_*が更に右隨伴を持ち$ f^*\dashv f_*\dashv f^!、以下の同値な條件のいずれかを滿たすならば$ fを local geometric morphism と呼ぶ 逆像部分$ f^*が更に左隨伴を持つ$ f_!\dashv f^*\dashv f_*\dashv f^!ならば、$ fを essential geometric morphism と呼ぶ 論理學的射 (logical morphism)
分類 topos (classifying topos)
グロタンディークトポスは、次のいずれかの同値な定義を満たす圏 \mathcal{G} を指します。ここでは代表的な２つを紹介します。
1. サイト (景) 上の層圏としての定義
• ある小カテゴリー C と、その上のグロタンディーク位相 J を与えた「景 (C,J)」が存在し、
\mathcal{G}\;\simeq\;\mathrm{Sh}(C,J)
という同値をもつ。ここで \mathrm{Sh}(C,J) は「前層圏 $ \mathrm{PSh}(C)=[C^{op},\mathbf{Set}] の中で、位相 J を満たす前層を選び出したフルサブ圏」である。
• すなわち、グロタンディークトポスは「前層圏を層化することで得られる左完全反射サブカテゴリー」として特徴づけられる。
2. Giraud の公理による定式化
圏 \mathcal{G} が次の条件（Giraud の公理）をすべて満たせば、それはグロタンディークトポスと呼ばれる：
1. 有限極限 (finite limits) を持つ。
2. 被覆族ごとに束 (small coproducts) を持ち、それらがプルバックに対して「分解的 (disjoint)かつ安定 (stable)」である。
3. 等化子の和 (quotients of equivalence relations) が存在する。
4. 非自明な「集合のようなジェネレータ (generator)」を持つ。
ひとことで言えば、「集合圏 \mathbf{Set} 的な性質をもつ限界・余極限・商を備えつつ、さらに小さいジェネレータを持つ圏」がグロタンディークトポスに該当する。
topos の基本定理
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內部論理 (internal logic。內部言語)